数理逻辑（2）——命题逻辑的等值、范式和推理演算
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- 2025-05-05 07:25:39
在深入理解数理逻辑的基石——命题逻辑中，探索等值、范式和推理演算的精髓是不可或缺的一步。让我们一步步揭开这个逻辑世界的奥秘：
首先，让我们定义等值的精髓：两个公式在所有可能的解释下，其真值表中的结果始终一致，这就构成了等价关系。一些基本的等值公式，如双重否定、结合律、交换律、分配律和反演律，就如同逻辑的黄金法则，为理解更复杂的命题提供了基础。
在探索中，置换规则发挥着关键作用。它允许我们将一个子公式替换为等价公式，保持整体的逻辑一致性。这就像是逻辑拼图中的替换规则，确保每个部分都精准无误。
接着，我们转向范式，这是公式分类和研究的标准化手段。范式将公式划分成互为等价的不同类别，其中主析取范式和主合取范式是核心。主析取范式通过真值表构建，每个简单的合取式对应一个真值为1的行，如 A ≡ (∀x P(x))。而主合取范式则是通过合取所有真值为0的行的析取式，如 A ≡ (∃x ¬Q(x))，它们之间通过互补性相互转换。
掌握这些术语至关重要：文字，简单/完全合取/析取式，它们是构建逻辑框架的基石。通过理解这些概念，我们可以有效地构造和转换范式，简化复杂命题的表述。
现在，我们进一步探讨真值表在构造范式中的作用。从成真指派（真值1）出发，我们构建简单合取式对应的主析取范式，如通过选择所有真值为1的行。相反，从成假指派（真值0）出发，我们构造主合取范式，通过取所有真值为0的行的析取式。通过这些基础操作，我们得以构造出独特的范式形式。
深入理解重言蕴含的概念是推理的关键，如公式 A → B 表示如果 A 为真，则 B 也必须为真。经典重言蕴含式，如 (A ∧ ¬A) → False 和 (A → B) ∧ (B → A) → (A ≡ B)，提供了推理的框架。推理规则，如前提引入和结论引用，如在三段论中，是逻辑推演的基石，而归结/消解推理法则利用矛盾式，通过反复归结直至找到矛盾，证明命题的有效性。
综上所述，数理逻辑的等值、范式和推理演算是一门精细的艺术，通过理解这些概念，我们可以更高效地解析和构建逻辑命题，进而洞察世界的逻辑结构。让我们继续在逻辑的殿堂中探索，领略其无穷的魅力。
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