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高二数学寒假作业 已知函数f（x）＝x╱√1＋x平方（x大于0），数列｛a n｝（n是在a下面）满

a1=f(x)=x/√(1+x^2)

a2=f(a1)=f( x/√(1+x^2) )

=x/√(1+x^2) / √( 1+ x^2/(1+x^2) )

=x/√(1+x^2) / √( (1+2x^2)/(1+x^2) )

=x/ √(1+2x^2)

同理，a3=x/ √(1+3x^2)

a4=x/ √(1+4x^2)

由上，容易猜想an=x/ √(1+nx^2)

证明：

a1=x/ √(1+x^2)=x/ √(1+1x^2)，成立。

假设x=n时，成立，则有，an=x/ √(1+nx^2)，

当x=n+1时，

a(n+1)=f(an)=x/√(1+nx^2) / √(1+ x^2/(1+nx^2) )

=x/√(1+nx^2) / √( (1+(n+1)x^2)/(1+nx^2) )

=x/ √(1+(n+1)x^2)，得证。

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