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初二数学

当∠AOB是直角时,方案(Ⅰ)可行.

∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,

∴∠AOB=90°,

∵若PM⊥OA,PN⊥OB,

且PM=PN,

∴OP为∠AOB的平分线(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上);

当∠AOB不为直角时,此方案不可行.

其实原题是这样的:

某班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角。设计了如下方案

(1)角AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是角AOB的平分线。

(2)角AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是角AOB的平分线。

1.方案(1)、方案(2)是否可行?若可行,请说明理由:若不行,请说明理由。

2.在方案(1)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM垂直OA,PN垂直OB。此方案是否可行?请说明理由。

分析:(1)方案(Ⅰ)中判定PM=PN并不能判断P就是∠AOB的角平分线,关键是缺少△OPM≌△OPN的条件,只有“边边”的条件;

方案(Ⅱ)中△OPM和△OPN是全等三角形(三边相等),则∠MOP=∠NOP,所以OP为∠AOB的角平分线;

(2)可行.此时△OPM和△OPN都是直角三角形,可以利用HL证明它们全等,然后利用全等三角形的性质即可证明OP为∠AOB的角平分线.解答:解:(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件,

∵只有OP=OP,PM=PN不能判断△OPM≌△OPN;

∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线;

方案(Ⅱ)可行.

证明:在△OPM和△OPN中

OM=ON PM=PN OP=OP

∴△OPM≌△OPN(SSS),

∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等)(5分);

∴OP就是∠AOB的平分线.

(2)当∠AOB是直角时,方案(Ⅰ)可行.

∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,

∴∠AOB=90°,

∵若PM⊥OA,PN⊥OB,

且PM=PN,

∴OP为∠AOB的平分线(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上);

当∠AOB不为直角时,此方案不可行.

还有不懂的地方欢迎指教!!!祝您学习进步!!

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