专升本高数函数的有界性是什么
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- 2025-05-05 19:21:37
函数除了定义域与解析式，还拥有四个性质，分别是：有界性、单调性、奇偶性、周期性。这些性质关注的是函数值的特征。有界性描述了函数值在一定范围内，即存在常数L1与L2，使得所有函数值满足L1≤y≤L2。需要注意的是，上界与下界同时存在时，函数才被称作有界。例如，正弦函数在定义域内有界，其函数值满足-1≤y≤1，而对数函数在定义域内无界，其函数值满足y∈R。在定义域内的有限区间内，函数值可能有界。
单调性则描述了函数值随自变量变化的趋势，分为单调递增或单调递减。若区间Ⅰ内任意两个变量x1与x2，满足x1f(x1)，则函数在区间Ⅰ上单调递减；反之，函数值变大，则函数为增函数。复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，反函数的单调性与原函数相同。
奇偶性指函数值与自变量相反时的特征。奇函数满足f(x)=-f(-x)，等价于f(x)+f(-x)=0，或f(x)÷f(-x)=-1；偶函数满足f(x)=f(-x)，等价于f(x)-f(-x)=0，或f(x)÷f(-x)=1。判断奇偶性只需确定f(x)与f(-x)的关系。奇函数与偶函数的和是非奇非偶函数。反函数的奇偶性与原函数相同。
周期性指的是函数值重复出现的特性，即存在正数L，对定义域D内的所有x，有f(x)=f(x+L)，则函数周期为L。判断周期性只需找到满足此条件的正数L。所学的各类函数中，只有三角函数具有周期性。
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