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第二百四十五夜：函数的公切线

在之前的讨论中，我们接触了圆锥曲线的非对称问题、分式三角函数的最值以及函数型不等式，现在是时候引入17世纪的数学工具——导数了。

导数的起源有着深厚的几何背景，而切线，尤其是公切线，在高考中经常出现，成为了许多难题的关键。例如，2016年全国2卷的第16题，2018年天津卷的压轴题，2019年全国2卷的第20题，都是很好的例证。

公切线的本质是导数几何意义的综合应用，它将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极（最）值、零点等，这是对转化与划归、推理与论证能力的考查。

解决公切线问题有至少三种方法：

①利用两切线重合；

②构造函数，转化为函数的最值；

③凹凸反转，利用切线不等式放缩。

这些方法都是从数与形两方面着手，最终达到相同的目的。这些方法背后蕴含着泰勒展开、函数逼近的背景，渗透着数形结合、动静转化的思想，这也是命题者难以抗拒的。

两切线重合是解决公切线问题的最基本、最通用的方法。然而，许多题目中的切线方程非常复杂，计算量很大。

本题之所以独特，是因为题目已经给出了切线的斜率，这使得切线方程变得简单。通过切线重合得出a，b的二次函数关系，配方后即可求得b的取值范围。

一个下凸函数和一个上凸函数的公切线是二者的分界线。通过构造辅助函数，我们可以分别求出最小值和最大值，利用最值相等即可得出a与b的关系。

这种方法来源于证明函数不等式中的“隔离法”，如果辅助函数没有最值，可以适当变形后再构造函数。

利用切线不等式放缩，将下凸函数向下放缩，上凸函数向上放缩，然后使两切线方程相等，即可建立a与b的关系。

值得注意的是，如果两个函数的图象有公共点，那么公切线必过该公共点。

【法3】应该是本题的命题背景，也是本题最好的解题方式。

函数与其切线之间的关系是怎样的？你是否还记得，我们曾经讨论过，有些切线始终在函数图象的下方，有些始终在上方，而有些则穿过函数的图象。

对于下凸函数和上凸函数的切线，我们可以归结为以下定理：

4. 在实际操作中，我们可能会遇到两种不同的处理方式：

①形同陌路，即对问题感到陌生和困惑；

②一见如故，即对问题非常熟悉，能够迅速找到解决方法。