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MIT-双变量微积分-04-矩阵方程，平面方程

今天主要讲述的是平面方程与线性方程组以及矩阵之间的关联。

平面方程，形式为ax + by + cz = d，其中a, b, c, d为系数。该方程定义了一个满足特定条件的点在平面上的位置。平面由其法向量和一个点来确定。例如，一个过原点的平面，其法向量为[1, 1, 1]，那么该平面方程为x + y + z = 0。

如果平面不经过原点，而是经过点(1, 1, 1)，其法向量仍为[1, 1, 1]，则平面方程变为1x + 1y + 1z = d。这里的d值与原点平面方程相比，仅是常数项不同，表示平面的位移。

平面方程的系数与平面法向量相对应，常数项d反映了平面相对于原点的位移距离。

计算d的值是否快速？答案是肯定的。只需将已知点代入方程，例如点(1, 1, 1)，则x + y + z = d。通过计算得到d的值。

求平面的关键在于找到法向量。法向量可以通过向量叉乘获得。例如，给定向量[1, 1, 1]与[0, 0, 1]，它们的叉乘结果为[-1, 1, 0]，则[-1, 1, 0]为平面法向量。

如何快速判断两个向量是否垂直？只需计算它们的点积。若点积为零，则向量垂直。例如，向量[1, 1, 1]与向量[0, 0, 1]点积为0，因此它们垂直。

线性方程组由多个平面方程组成，每个方程定义一个平面。解线性方程组实际上是在寻找这些平面的交点。

以方程组x + y + z = 1, 2x + 2y + 2z = 2为例，这两个方程定义的平面相交于一条直线。如果将这三个方程一起考虑，它们会在某一点相交。这是因为第一个和第二个方程相交形成一条线，这条线与第三个方程平面相交于一点。

求解交点可以通过画图或者使用代数方法。代数方法包括消元法，对于无法直接求解的方程组，可以通过高斯-若尔当消元法计算矩阵的逆，从而找到解。

矩阵方法提供了一种直观的求解线性方程组的方式。若矩阵A的行列式不为零，则方程组有唯一解。若行列式为零，则方程组可能无解或有无穷多个解。

考虑齐次方程组，即方程组等号右边为零，形式为Ax = 0。这类方程组总有一个平凡解，即x = 0。从几何上看，三个平面同时通过原点，原点总是它们的交点。

对于一般情形，研究方程组B的形式，它可能为零或非零值。根据矩阵A的行列式值，方程组有唯一解或无解/无穷多解。

最后，高斯-若尔当消元法提供了一种计算逆矩阵的有效方法，这是解决线性方程组和理解矩阵性质的重要工具。