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lnx的泰勒公式推导

ln(x+1)在x=0处的三阶泰勒公式可以表示为ln(x+1)=x-x²/2+x³/3+o(x³)。这里n取3即为三阶泰勒公式。

三阶泰勒公式中的皮亚诺余项是o(x³)，这意味着公式中的每一项都是x的幂次形式，且随着幂次的增加，对应的项会变得越来越小，当x趋近于0时，这些更高阶的项相对于x³而言是更高阶的无穷小量。

具体来说，如果我们在泰勒公式中继续添加x⁴、x⁵等项，这些项在x趋于0时，其值相较于x³来说会更快地趋近于0，因此它们可以被统称为o(x³)。这意味着，当x足够接近0时，这些更高阶的项可以被忽略，而不会对结果产生显著影响。

此外，o(x³)表示的是一个无穷小量，它的精确值并不重要，而是用来描述其余项相对于x³的大小关系。通过使用o(x³)，我们能够更简洁地表达泰勒公式中剩余部分的性质，而无需列出每一个具体的小项。

综上所述，ln(x+1)的三阶泰勒公式不仅提供了一个近似ln(x+1)的方法，而且通过皮亚诺余项o(x³)，准确地表达了这一近似在x接近0时的性质和精度。