常微分方程：（第五章）线性微分方程组

在探讨常微分方程领域，第五章着重于线性微分方程组的解法。本文将以《常微分方程》第三版（王高雄）为参考，深入解析线性微分方程组的求解策略。

首先，需明确的是线性微分方程组与单个线性微分方程的求解存在显著差异。考虑一个典型方程组（p186），通过对变换操作，可将其转换为更易于理解的格式。这一步骤中，包含两个关键概念：齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组（p202）。

为了解决这一问题，先引入一系列常用定义，包括朗斯基行列式（p203），向量函数的线性相关与线性无关（p202），基本解组（p205），以及矩阵或向量在闭区间上的连续性、可微性与可积性（p195）。这些定义为后续理论奠定了基础。

接着，重点讨论了齐次线性微分方程组的基本性质，包括存在唯一性定理（p196）、叠加原理（p202）、向量函数线性相关性与朗斯基行列式的关系（p203），以及方程解的线性无关与朗斯基行列式的性质（p204）。这些性质为理解方程组的解提供了关键线索。

对于非齐次线性微分方程组，主要关注其与齐次方程组的关系（p211），以及常数变易法（p211）的运用。常数变易法为求解这类方程提供了一种有效手段。

在第五章末尾，特别强调了n阶非齐次线性微分方程的常数变易公式，表明了它与n阶线性微分方程的初值问题之间存在的等价性。这为后续研究提供了理论支持。

对于常系数线性微分方程（p219），特别关注了矩阵指数expA的定义与性质，以及常系数齐次线性微分方程组的解（p227）。此外，还讨论了基解矩阵的计算公式（p228），以及当矩阵A为任意n*n矩阵时，如何计算基解矩阵（p228）。

在计算过程中，引入了矩阵的特征值、特征向量、特征多项式与特征方程的概念（p227）。通过这些概念，可以理解常系数微分方程的基解矩阵的形成与性质（p228）。

最后，通过举例说明了如何使用matlab解微分方程，虽然与书中结果有所差异，但结论同样正确。注意在使用tan函数时，需在自变量t前加括号。