设pq为不同素数,试证明Q(√p)≠Q(√q)， 其中Q(p)=｛a+b√p|a，b属于Q｝是一个
- 培训职业
- 2025-05-07 03:25:34
不需要证明Q（√p）是数域吧？
下面只证明Q（√p）与Q（√q）不相等。
容易证明，Q包含于Q（√p）与Q（√q），只需要取b=0即可。
实际上，这两个数域只有一类公共点，也就是Q。
下面证明对非零的b和d，
a+b√p≠c＋d√q
——————————————————————————————
假若a+b√p=c＋d√q
移项，
b√p=c-a+d√q
两边平方，
b^2·p=c^2+a^2+d^2·q-2ac+(2cd√q-2ad√q)
移项，
b^2·p-c^2-a^2-d^2·q+2ac=2d√q·(c-a)
注意到，等式左边为有理数，因而右边也必须为有理数，
因而只能c-a=0，否则对于素数q，√q为无理数，它的非零有理数倍一定也是无理数。
（上面这个非要证明，可以参照√2是无理数的证明方式）
于是c=a
代入a+b√p=c＋d√q
于是b√p=d√q
两边平方，
b^2·p=d^2·q
当b、d非零时，
因为q为素数且p≠q，因而p|d^2，
又因为p为素数，因而p|d，
不妨设d=mp（m∈Z）
于是
b^2·p=m^2·p^2·q
两边同时÷p
b^2=m^2·p·q
注意到，m^2|b^2，于是b^2/m^2一定是整数，
于是，
（b/m）^2=b^2/m^2=p·q
而（b/m）^2显然是一个完全平方数，于是，
b/m=√(p·q)
而√(p·q)并不是有理数。
因而a+b√p=c＋d√q只能是b=d=0
而当b≠0和d≠0这两个不等式只要有一个成立时，这两个数立即不相等。
从而，Q（√p）、Q（√q）中均存在对方不存在的数。
因而，Q（√p）≠Q（√q）
————————————————————
【经济数学团队为你解答！】欢迎追问。
上一篇
怎么当老师
下一篇
志愿模拟演练详细步骤
多重随机标签