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旋转切割磁感线

当导体棒ab在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速旋转时，其切割磁感线会产生感应电动势。我们可以通过三种方法来计算这个电动势。

首先，方法一是基于面积变化。在时间△t内，ab棒扫过的扇形面积△S=½l²ω△t，磁通量变化△Φ=Bl²ω△t，因此感应电动势E=△Φ/△t=½Bl²ω。

方法二是考虑棒上各点速率的差异。利用线速度v=ωr，取中点的速度v′=ωl/2，代入E=Blv，也得到E=½Bl²ω。

方法三是利用导数，Φ(t)=B·½θl²=B·½ωtl²，对时间t求导得到E=Φ′(t)=½Bl²ω。

特别地，当以中心为轴旋转时，电动势E为零；而以任意点为轴时，E=½Bω(l₁²-l₂²)。例如，当一长为2R的导体杆OA在两个圆的公切线上旋转时，感应电动势的图象会根据具体条件变化。

当导体棒非垂直切割磁感线时，如OA绕垂直轴旋转，有效切割长度为垂直磁场方向上的投影l′=l*sinθ，此时感应电动势E=½Bl²ωsin²θ，且A点电势较高。

对于空间中的金属棒MN旋转，若磁感应强度B改变或角速度ω增加，M、N两点间的电势差会相应变化，具体比例需要根据给定条件计算。

最后，矩形线圈绕垂直于磁场的轴转动，产生的感应电动势E与线圈的面积、磁场强度、角速度和时间有关，公式为E=NBSωcosωt。在这个过程中，ab和cd边切割磁感线的速度是有效速度，影响电动势的大小。