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高中函数fx解析式的求法

原命题：

已知：函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3，求函数f(x)的解析式。

【说明：^表幂运算符号，即^2表示2次方（或次幂）；^3表示3次方（或次幂），依次类推^()，表示()中的数值次方（或次幂），依此类推】

解：

∵ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2

∴ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的导数函数f"(x)为：

f"(x)=3ax²+2bx+c，

设f"(x)=0时，根的判别式为△，即：△=4b²-12ac

∵ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3；

∴ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，其它区间函数f(x)不存在递减，

这样：根据函数，及其函数导数的极值点和极值情况，大致分析如下：

(-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)

f"(x) 必须+ f"(-1) - f"(3) 必须+

f(x) 必须↑ 有极大值 ↓ 有极小值必须↑

根据上述表述，可知道：

函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3，那么：

1）函数f(x)的导数f"(x)=3ax²+2bx+c在(-1，3)必须小于0；

2）函数f(x)在(-∞，-1)、(3，+∞)必须是递增函数，即：不存在递减情况；

3）函数f(x)的极大值点在f(-1)=11/3，那么导数f"(x)=0时，两个根为：-1、3；

【函数极值的必要条件为】

若函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0) 为极值（即：x0 为值点），则f"(x0)=0;