常见的泰勒展开式
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- 2025-05-06 16:49:45
常见的泰勒展开式如下：
泰勒公式展开式：一个函数N阶可导，则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X。
f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数，0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小。用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!，而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例。
泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数，也可由已知的函数的导数值推出原函数多用于求极限问题。比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限，f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x=1+x+x/2。
那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2用导数定义去理解，f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x-\u003ex0。那么就有当x-\u003ex0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)，lim f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小。
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