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求标准型为多少

首先，我们需要找到矩阵P，使得变换x=Py可以将原二次型f(x1, x2, x3)化为标准型。

考虑到二次型的矩阵表示为：

Q = [1 -2 0; -2 3 -2; 0 -2 3]

我们需要找到一个正交矩阵P，使得P¹QP = D，其中D是一个对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的标准型系数。

步骤如下：

求出Q的特征值和对应的特征向量。

对于任意一个矩阵A，我们可以通过求解方程|A-λI|=0来求出其特征值λ和对应的特征向量v。

计算Q的特征值和特征向量：

| Q - λI | = 0

(1-λ)(3-λ)(3-λ) - 4(-2)(-2)(1-λ) = 0

解得λ₁ = 5，λ₂ = 2，λ₃ = 0

当λ=5时，方程组(Q-5I)x=0的解为：

x₁ = 2x₂ + x₃

当λ=2时，方程组(Q-2I)x=0的解为：

x₁ = x₃，x₂ = x₃

当λ=0时，方程组Qx=0的解为：

x₁ = x₂ = -x₃

对Q的特征向量进行单位化，得到正交矩阵P。

对于每个特征值λ，将对应的特征向量进行单位化，可以得到一个单位正交向量组，将它们排列成一个矩阵P即可。其中，每个单位正交向量应按照特征值的大小顺序排列，使得最大特征值对应的向量在第一列。

对于本题，特征向量如下：

当λ=5时，单位正交化后的特征向量为：

v₁ = [2/3; -1/3; 2/3]

当λ=2时，单位正交化后的特征向量为：

v₂ = [1/√2; 0; -1/√2]，v₃ = [0; 1/√2; 1/√2]

所以，P的列向量为：

[2/3 1/√2 0;

-1/3 0 1/√2;

2/3 -1/√2 1/√2]

根据P将二次型f(x)化为标准型。

将x=Py代入原二次型f(x)，得到

f(x) = x¹Qx = (Py)¹Q(Py) = y¹(P¹QP)y

由于P是正交矩阵，因此P¹P=PP¹=I，即P的逆等于其转置，即P⁻¹=Pᵀ