理论力学次叙——虚功原理

静力学研究质点系在受力作用下的平衡规律，主要分析方法包括图解法与解析法。解析法在分析力学中更为通用，本文重点阐述解析法的原理。

虚功原理是静力学中的关键原理，其主要表述如下：

1. 若质点系平衡且约束理想双面定常，系统静止条件为所有主动力对作用点虚位移所作功之和为零。

2. 结构力学刚体体系中，任意平衡力系作用下，满足理想约束条件的无限小位移，主动力在位移上所做的虚功总和恒为零。

3. 结构力学变形体体系中，平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上所作的虚功总和。

简而言之，虚功原理可归纳为：

1. 平衡且理想约束时，主动力虚功和为零。

2. 平衡且理想约束时，外力虚功等于内力虚功。

虚功定义为力在虚位移上的功，虚位移是位移的等时变分，而非真实存在的位移。理想约束指不随时间变化的约束，如无摩擦、无相对滑动滚动、刚性连接的约束。

虚功原理通过数学表述为：

[公式]

其中，内力([公式]),外力([公式]),[公式]为主动力。需注意物理量的矢量性。

虚功原理与最小势能原理紧密相关，约束力([公式])与主动力([公式])是区别。理想约束下，大部分约束力与位移垂直，其与虚位移点乘为0。通过最小势能原理，结合平衡状态，可推导出系统势能取极值，通常为极小值。

应用虚功原理，以经典物竞题为例。假设半球状碗，内壁边缘光滑，碗半径[公式]，杆长[公式]，质量[公式]。在零势能面碗心水平面，利用最小势能原理求杆总长与碗边作用力。通过几何关系与最小势能原理求解杆能量函数，并对其求导令其为0，得到杆总长。再应用虚功原理求碗边对杆的作用力。

虚功原理有其局限，仅适用于系统平衡且理想约束条件。若系统具有加速度，则不适用。达朗贝尔原理可通过引入惯性力修正方程，将动力学问题转回静力学问题，但本文不详细阐述。