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函数极限的六大性质

唯一性：如果函数 f(x) 在某点 x0 的左右两侧都有极限存在，并且这两个极限相等，即左极限等于右极限，那么函数 f(x) 在点 x0 处的极限存在且唯一。

局部有界性：如果函数 f(x) 在某点 x0 的某个邻域内有极限存在，那么函数 f(x) 在该邻域内是有界的，即存在一个正数 M，使得对于该邻域内的所有 x，都有 |f(x)| ≤ M。

局部保号性：如果函数 f(x) 在某点 x0 的某个邻域内有极限存在，并且该极限不为零，那么在该邻域内，函数 f(x) 的符号与极限的符号保持一致。

保序性：如果函数 f(x) 在某点 x0 的某个邻域内有极限存在，并且在该邻域内，对于任意两个满足 x1 x2 的 x1 和 x2，有 f(x1) ≤ f(x2)，那么函数 f(x) 在该邻域内是单调递增的。

四则运算性质：如果函数 f(x) 和 g(x) 在某点 x0 的某个邻域内都有极限存在，那么它们的和、差、积、商（除数不为零）在该邻域内也有极限存在，并且满足以下性质：

两个函数的和的极限等于它们各自极限的和。

两个函数的差的极限等于它们各自极限的差。

两个函数的积的极限等于它们各自极限的乘积。

两个函数的商的极限等于它们各自极限的商（除数不为零）。

复合函数性质：如果函数 f(x) 在某点 x0 处有极限存在，并且函数 g(x) 在 f(x0) 处有极限存在，那么复合函数 g(f(x)) 在 x0 处也有极限存在，并且该极限等于 g(f(x0))。

这些性质是函数极限理论中的基本性质，对于研究和应用函数的极限具有重要意义。