高数拉格朗日定理
- 培训职业
- 2025-05-06 20:47:04
设f(x)=ln(1+x)，当a=0且b=x时，根据拉格朗日中值定理，有ln(1+x)=f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，其中0＜ξ＜x。由此可得x/(1+ξ)＜ln(1+x)＜x。但是，原结论存在错误，可通过反例b=1，a=-1进行验证。实际上，应补充条件b＞a＞0以确保结论的正确性。
接下来，设f(x)=arctanx。当b＞a＞0时，利用拉格朗日中值定理，有arctanb-arctana=f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=(b-a)/(1+ξ^2)，其中0＜a＜ξ＜b。由此可得(b-a)/(1+b^2)＜arctanb-arctana＜(b-a)/(1+a^2)。这说明在b＞a＞0的条件下，arctan函数的增减性与其导数(1/(1+x^2))的增减性一致。
最后，设f(x)=arctanx-arcsin[x/√(1+x^2)]，其定义域为R。求导得f'(x)=1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0，说明f(x)在R上恒为常数。由于f(0)=0，因此可得出结论：在R上恒有f(x)=0，即 arctanx=arcsin[x/√(1+x^2)]。
多重随机标签