概率论 由分布函数求概率
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- 2025-05-06 05:27:56
就是代入φ的表达式求导.
φ是标准正态密度函数: φ(x) = 1/√(2π)·e^(-x²/2),
Φ是标准正态分布函数: Φ(x) = ∫{-∞,x} φ(t)dt.
由变限积分求导, 2Φ(2√y/a)对y的导数为2φ(2√y/a)·(2√y/a)' = 2/(a√y)·φ(2√y/a).
4√y/a·φ(2√y/a) = 4√y/a·1/√(2π)·e^(-(2√y/a)²/2)
= 4/a·1/√(2π)·√y·e^(-2y/a²).
对y求导得4/a·1/√(2π)·(1/(2√y)·e^(-2y/a²)-2√y/a²·e^(-2y/a²))
= 4/a·(1/(2√y)-2√y/a²)·1/√(2π)·e^(-2y/a²)
= 4/a·(1/(2√y)-2√y/a²)·φ(2√y/a).
两个导数相减即得8√y/a³·φ(2√y/a).
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