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轮换对称性怎么用

轮换对称性跟被积函数自身的对称性无关，而是与积分区域的轮换对称性相关——如果积分区域满足轮换对称性，那么满足轮换对称的两个被积函数在此区间的积分相等。二重积分轮换对称性的应用主要是：轮换对称后合并被积函数以简化计算。

一个三重积分:\iiint_\Omega f(x,y,z)dv。

普通(奇偶)对称性:如果积分区域\Omega关于平面yoz对称,那么:

\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\left \{ \begin{aligned} &2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z)dv。 &f(x,y,z)=f(-x,y,z) \\&0&f(x,y,z)=-f(-x,y,z) \end{aligned} \right.

例1:计算\iiint_\Omega e^{|z|}dv,\Omega:x^2+y^2+z^2\leq1.

积分区域是一个球体,因此关于三个平面都是对称的,观察被积函数,易知f(x,y,z)=f(x,y,-z).

所以\iiint_\Omega e^{|z|}dv=2\iiint_{\Omega_1}。 e^{z}dv,\Omega_1:x^2+y^2+z^2\leq1,z\geq0.