当前位置：首页 > 培训职业 > 正文

运筹学专业课考点丨单纯形法

单纯形法是运筹学中一个至关重要的概念，也是各类考试中的核心考点。为了克服图解法仅能解决二维线性规划模型的局限，丹兹格等数学家提出了单纯形法，这一方法成为了解决更大规模线性规划问题的基石。单纯形法的核心思想是从线性方程组中找出一系列“单纯形”，通过迭代计算目标函数值，最终找到最优解。

在学习单纯形法时，我们首先需要定义几个关键概念：基本矩阵、基本变量、基本解和基本可行解。基本矩阵是系数矩阵中的任意非奇异（可逆）子矩阵，基本变量则是构成基本矩阵的列向量所对应的变量，而基本解是在所有非基变量取0时得到的解。当所有基本变量的值都非负时，这样的基本解称为基本可行解。

让我们通过一个例子来深入理解这些概念。假设我们有一个线性规划标准型模型，我们可以通过选取不同基本矩阵来得到不同的基本可行解。例如，选取某个非奇异子矩阵为基本矩阵，我们可以得到一个基本可行解，即所有非基变量取0时的解。接着，我们计算目标函数值，然后判断是否已找到最优解。

在求得一个基本可行解之后，我们需要检验它是否为最优解。这涉及到计算非基变量的检验数，即目标函数值的增量。若检验数为正，则非基变量通过取代基变量可以得到更优解。反之，若所有非基变量的检验数均小于等于0，则当前基本可行解即为最优解。

通过一系列的换基操作，单纯形法能够从一个基本可行解迭代到另一个更优的基本可行解，直到找到最优解。这一过程实质上是在可行域的顶点间循环，而线性规划问题的最优解总是能在某个基本可行解中找到。因此，单纯形法提供了一种有效的方法来解决线性规划问题。

单纯形法的基本步骤包括：将线性规划问题标准化为标准形式，寻找初始的基本可行解，判断是否为最优解以及进行换基操作以得到新的基本可行解。这个过程需要计算检验数，以确定是否已达到最优解。若未达到，则通过选择最大正检验数的非基变量作为进基变量，并根据最小比值原则选择退基变量，以迭代地改进解。

为了简化计算和表示，单纯形法通常用表格形式进行计算，这使得迭代过程更加标准化。通过表格方法，我们能够清晰地追踪每个步骤，并确保计算的准确性。在实际应用中，单纯形法广泛应用于资源分配、生产计划、运输优化等多个领域，是运筹学中的一个强大工具。