求详解一下狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数.但是对这两种函数感兴
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- 2025-06-20 03:56:30
狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数是实数域上两种独特且引人关注的数学对象。狄利克雷函数D(x)定义为分段函数，它在有理数上取值1，在无理数上取值0。其特性鲜明：定义域为R，值域仅限于{0,1}，表现出明显的奇偶性，偶函数的性质使得D(-x) = D(x)成立。周期性方面，狄利克雷函数对无理数无周期，但对于非零有理数T，有理数x的加法结果仍是1，无理数则保持为0，周期性由非零有理数T决定。然而，它的连续性和可导性并不符合常规理解，狄利克雷函数在每个点都是不连续且不可导的，无法绘制出连续的图形。
相比之下，魏尔斯特拉斯函数更进一步，它是一类在任何点都连续，但处处不可导的函数。这种函数的特性在于，无论在任何局部放大，其图像都与整体保持相似，不会显示更多的光滑度，也不存在单调区间。它像函数y=|x|在x=0处那样，每一个点都具有独特的不连续性特征。
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