什么叫实对称矩阵

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji），（i，j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。

一、实对称矩阵的主要性质。

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数。

3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若A具有k重特征值λ0必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r（λ0E-A）必为n-k，其中E为单位矩阵。

5、实对称矩阵A一定可用正交矩阵对角化。

二、实对称矩阵的应用。

实对称矩阵在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在解决一些对称性质的问题时非常有用。

在数学中，它们可以用于研究线性方程组、二次型、特征值和特征向量等。在物理学中，实对称矩阵可以描述一些物理系统的对称性质，晶体的对称性、弹性形变和量子力学中的哈密顿算符等。

实对称矩阵的判断：

1、根据定义判断。

根据实对称矩阵的定义，判断一个矩阵是否为实对称矩阵，只需判断它是否满足转置矩阵和原矩阵相等的条件即可。具体步骤为：对矩阵进行转置操作，得到转置矩阵；判断转置矩阵和原矩阵是否相等，如果相等，则该矩阵为实对称矩阵，否则不是。

这种方法简单直接，但对于大型矩阵来说，计算量较大，不适合用于大规模数据的处理。

2、判断矩阵的特征值是否为实数。

根据线性代数的知识，实对称矩阵的特征值一定是实数。因此，我们可以通过计算矩阵的特征值来判断矩阵是否为实对称矩阵。具体步骤为：计算矩阵的特征值和特征向量；判断所有特征值是否为实数，如果是，则该矩阵为实对称矩阵，否则不是实对称矩阵。

这种方法需要用到线性代数的相关知识，但计算量较小，适合用于大规模数据的处理。