如果两个矩阵合同，那么它们两个之间有什么定理或推论

如果两个矩阵合同，那么它们具有相同的定号，相同的秩，以及相同的正负惯性指数。这在二次型理论中尤为重要。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C^TAC=B，此时称方阵A合同于矩阵B。

在研究合同矩阵的场景中，二次型中经常使用实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。因此，合同矩阵具有相同的秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。

合同关系是一种等价关系，满足反身性、对称性和传递性。具体来说，任意矩阵都与其自身合同；如果A合同于B，那么B合同于A；如果A合同于B，B合同于C，则A合同于C。

矩阵合同的主要判别法之一是：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，那么A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

另一个判别法是：设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，那么A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

旋转矩阵是一种特殊的矩阵，它在乘以一个向量时改变向量的方向但不改变大小。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演构成了正交矩阵的集合。

旋转矩阵的原理在数学上涉及到一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计、填装设计、斯坦纳系、t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求解系统的最优方法是将矩阵的特征向量求出，称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要。

系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。