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多元函数积分在生活中的应用

类似于一元函数的牛顿-莱布尼兹公式，二重积分的计算将二重积分和累次积分联系在了一起。

定理（矩形区域的二重积分）：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且对每个x∈[a,b]，积分∫cdf(x,y)dy存在，则累计积分∫abdx∫cdf(x,y)dy也存在，且：

∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫cdf(x,y)dy

同理，设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且对每个y∈[c,d]，积分∫abf(x,y)dx存在，则累计积分∫cddy∫abf(x,y)dx也存在，且：

∬Df(x,y)dxdy=∫cddy∫abf(x,y)dx

特别的，当f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上连续时：

∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫cdf(x,y)dy=∫cddy∫abf(x,y)dx

x 型区域和 y 型区域：对于一般区域，通常可分解为 x 型区域和 y 型区域来进行计算。