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柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

定义：在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线生成的曲面叫做柱面。准线与母线分别是柱面的特定曲线与生成柱面的直线。设柱面的准线方程为，母线的方向数为。任取准线上的任意点，则过此点的母线方程为，且有与两组等式，通过消去参数，得柱面方程为。

空间曲线的射影柱面：设定空间曲线为，通过消去一个元，可得三个方程。任取其中两个方程组成方程组，方程组表示的曲线与表示同一条曲线，表示曲面通过已知曲线。曲面表示一个母线平行于轴的柱面，在直角坐标系下，其母线垂直于坐标面，称为射影柱面，表示空间曲线在坐标面上的射影曲线。

锥面定义：通过一定点且与定曲线相交的一族直线生成的曲面叫做锥面，这些直线是锥面的母线，顶点是锥面的顶点，定曲线是锥面的准线。设锥面的准线为，顶点为，若为准线上的任意点，那么过点的母线为。有等式，从四个等式消去参数，得锥面方程。

旋转曲面定义：一条曲线绕着定直线旋转一周生成的曲面叫做旋转曲面。曲线是旋转曲面的母线，定直线是旋转曲面的旋转轴。母线上的任意点在旋转时形成纬圆，通过旋转轴的平面与曲面的交线。旋转曲面的方程通过四个等式消去参数，最后得到。

椭球面定义：在直角坐标系下，由方程所表示的曲面是椭球面，标准方程为，其中是任意的正常数。单叶双曲面定义：由方程所表示的曲面是单叶双曲面，标准方程为，其中是任意的正常数。双叶双曲面定义：由方程所表示的曲面是双叶双曲面，标准方程为，其中是任意的正常数。

椭圆抛物面定义：在直角坐标系下，由方程所表示的曲面是椭圆抛物面，标准方程为，其中是任意的正常数。双曲抛物面定义：在直角坐标系下，由方程所表示的曲面是双曲抛物面，标准方程为，其中是任意的正常数。

单叶双曲面与双曲抛物面的直母线定义：首先考察单叶双曲面，通过修改方程，引进参数，由方程组和两个方程组可以生成曲面，即单叶双曲面的一族直母线。同样，可以证明单叶双曲面的另一族直母线是另一组直线。单叶双曲面是直纹曲面，两族直母线通过曲面上的任一点。

双曲抛物面上的直母线定义：双曲抛物面也有两族直母线，方程分别是和。对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条通过这一点。定理说明单叶双曲面和双曲抛物面上的异族直母线分别共面和相交。定理也说明单叶双曲面和双曲抛物面上的同族直母线是异面直线，双曲抛物面的同族直母线平行于同一平面。