当前位置：首页 > 培训职业 > 正文

海森矩阵的行列式为零时，怎么判断多元函数的极值

当海森矩阵的行列式为零时，二阶泰勒展开不再适用，必须寻找更高阶的泰勒展开。如果三阶项非零，则该点不是极值点。三阶项为零但四阶项非零时，需要检查四次型是否正定或负定。通常，函数的极小值或极大值取决于最低非零项的正定性或负定性。值得注意的是，奇次项不可能正定或负定。

然而，高于二阶的偶次型没有通用的正定性判断方法。如果海森矩阵仅仅是退化（degenerate）但不为零，问题会变得复杂。这种情况可以分为三种情况：半正定、半负定或不定。不定的情况一定不是极值点，半正定情况下只能找到一些充分条件，例如三阶导为零且四阶导正定，但没有太漂亮的充要条件。

在具体应用中，需要根据具体情况选择合适的高阶泰勒展开项。对于退化的情况，可能需要结合更多的信息或采用其他方法来判断函数的极值性质。此外，高阶泰勒展开的计算往往较为复杂，需要仔细分析每一步。

总而言之，当海森矩阵的行列式为零时，判断多元函数的极值需要仔细分析更高阶的导数项。具体判断方法依赖于这些导数项的性质，尤其是它们的正定性或负定性。对于退化的情况，还需进一步分析以确定函数的极值性质。