如何证明函数收敛

一 函数列及其一致收敛性

函数列 一列定义在同一数集 E 上的函数 f_1,cdots,f_n,cdots ，记为 {f_n} ~~~mathrm{or}~~~~ {f_n(x)}

函数列在一点收敛 设 x_0in E 且数列 {f_n(x_0)} 收敛，则称{f_n(x)}在 x_0 收敛，否则称发散。

{f_n(x)} 在数集 D 收敛 若 forall xin Dsubset E, {f_n(x)} 都收敛，即它在D 上的每一点都收敛。

极限函数 若函数列在数集 D 收敛，则 forall x, lim_{n

ightarrow infty}f_n(x)=f(x).

epsilon-N 定义forall xin D,forall epsilon0,exists N（与 x, epsilon 都有关），forall nN 时，有 |f_n(x)-f(x)|epsilon.

收敛域 使函数列收敛的全体收敛点的集合。

例1f_n(x)=x^n，收敛域 (-1,1] ,且极限函数 f(x)=begin{cases} 0, -1x1 1, x=1 end{cases}.

例2 f_n(x)=frac{sin nx}{n}, |f_n(x)|leq frac{1}{n}

ightarrow 0 (n

ightarrow +infty),所以极限函数 f(x)equiv0, forall xin R.

对于函数列，如果我们仅仅要讨论它在哪些点收敛，则只需要数列极限的理论即可。

事实上，更重要的是研究极限函数的解析性质（分析性质）——连续性，可微性和可积性。

为此，我们需要对它在 D 上的收敛性提出更高的要求，即一致收敛性。

定义（一致收敛） 我们称函数列 {f_n(x)} 在 D 上一致收敛于 f(x) ,如果 forallepsilon0, exists N, forall nN, 对一切 xin D ,都有|f_n(x)-f(x)|epsilon.

一致收敛记作 f_n(x)

ightrightarrows f(x) (n

ightarrow infty), xin D.

下面我们学习函数列一致收敛的判别法。

定理13.1（柯西准则） f_n(x)

ightrightarrows f(x), xin D 的充分必要条件是：

forallepsilon0, exists N0, forall n,mN, 对一切 xin D , 都有 |f_n(x)-f_m(x)|epsilon.

证明 [必要性] |f_n(x)-f_m(x)|leq |f_n(x)-f(x)|+|f_m(x)-f(x)|.

[充分性] 首先由数列收敛的柯西准则得其收敛，记f_m(x)

ightarrow f(x), m

ightarrow infty, xin D，

固定 n ,令 m

ightarrow infty , 由数列极限的性质|f_n(x)-f(x)|leq epsilon ，这就是一致收敛的定义。 Box

注1 证明充分性的方法非常典型。

注2leq epsilon为什么不影响一致收敛的定义。

定理13.2 f_n(x)

ightrightarrows f(x), n

ightarrow infty, xin D 的充分必要条件是 lim_{n

ightarrowinfty}sup_{xin D}|f_n(x)-f(x)|=0.

证明 [必要性] |f_n(x)-f(x)|epsilonRightarrow sup_{xin D}|f_n(x)-f(x)|leq epsilon（上确界是最小上界！）

[充分性] 性]sup_{xin D}|f_n(x)-f(x)|epsilon Rightarrow |f_n(x)-f(x)|epsilon,再由一致收敛的定义。Box

注 定理13.2给了判别一致收敛的一个操作性强的方法，它的缺点在于须先知道极限函数，并且有时候上确界的求解较复杂。

再回首，看看例2. lim_{n

ightarrowinfty}sup_{xin R}|frac{sin nx}{n}-0|=lim_{n

ightarrowinfty}frac{1}{n}=0.

推论 函数列 {f_n(x)} 在 D 上不一致收敛于 f(x) 的充分必要条件是：exists {x_n}subset D ,使得

{f_n(x_n)-f(x_n)} 不收敛于0.

这是定理13.2的直接推论，经常用来论证不一致收敛。

例3 f_n(x)=nxe^{-nx^2}, xin (0,+infty)

解 易得极限函数为 f(x)=0. （过程学生自己写，至少知道怎么回事）

方法1（定理13.2） 由f_n(x)=nxe^{-nx^2}的最大值点为 x_n=frac{1}{sqrt {2n}} ，我们有

sup_{xin(0,+infty)}|f_n(x)-0|=sup_{xin(0,+infty)}nxe^{-nx^2}=f_n(x_n)=sqrt{n/2}e^{-1/2}

ightarrow +infty .

方法2（推论） 取 x_n=1, f_n(x_n)=e^{-frac{1}{n}}

ightarrow 1

eq 0 .

注 方法1估计误差“精确”，四平八稳；

方法2的估计粗略但“够用”，较方法一巧妙一些，但技巧是要以基本功为前提的。Box

一致收敛的要求并不低，为了今后方便使用，我们介绍如下“略弱”的定义。

定义（内闭一致收敛） 如果 forall [a,b]subset I, {f_n(x)}在闭区间 [a,b] 上一致收敛于 f(x) ，则称函数列 {f_n(x)} 在 I 上内闭一致收敛于 f(x).

注 当 I 为闭区间时，那么内闭一致收敛和一致收敛是等价的。

思考题（作业） {x^n} 在 (0,1) 上不一致收敛，但内闭一致收敛。

同样，例3中的 {f_n(x)} 在 (0,+infty) 上也是内闭一致收敛的，因为 forall [a,b]subset (0,+infty) ,

f_n(x)leq nbe^{-na^2}

ightarrow 0 (n

ightarrow infty).