高等统计学
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- 2025-05-04 11:24:46
在数理统计学中，指数族占据着核心地位，其定义和特性使其在统计推断中扮演着关键角色。首先，指数族定义为参数分布族，其密度函数可以通过势函数 [公式]、实值函数 [formula] 和非负可测函数 [formula] 表示为
[公式]
这里的势函数 [formula] 可以写作 [formula]，指数族的支撑集并不依赖于未知参数 [formula]，这与非指数族如均匀分布等有明显区别。常见的指数族分布包括正态、卡方、二项、Poisson等，而均匀分布、带位置参数的指数分布则不属于这一范畴。
自然形式的引入是指数族定义的重要部分，当密度函数可以表示为
[公式]
其中 [formula] 是自然参数，这个形式下的参数空间 [formula] 有特殊性质，如凸集和势函数的凸性。指数族的秩和曲线指数族的概念随之而来，满秩指数族的秩等于参数维数，而曲线指数族如正态分布 [formula] 的例子，其自然参数位于二维空间的抛物线内。
从矩母函数的角度，通过指数倾斜方法，如以 [formula] 为参数生成的新分布仍保持指数族形式，这在Monte-Carlo随机模拟中颇具优势。指数族的解析性使得研究其特征如矩和特征函数变得容易，同时，通过子集参数分析，可以有效地分离出兴趣参数和多余参数。
在统计推断方面，指数族的充分统计量，如自然充分统计量 [formula]，是其强大实用性的体现。满秩的指数族有完备统计量，而极大似然估计在满秩情况下与矩估计等价。Pitman-darmois-koopmans 定理揭示了指数族与参数统计的局限，当参数统计依赖于维数与样本量无关的充分统计量时，只有指数族满足这样的要求。
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