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如何判断原式极限是否为正无穷呢

首先，根据极限的定义，当x趋于0的时候，我们可以将原式转化为以下形式:

lim(x→0⁺)[(arcsin(x))^x - x^x]/x^2ln^2(1+x)

接着，我们可以使用泰勒公式将arcsin(x)和x^x在x=0处展开:

arcsin(x) = x - (1/6)x^3 + O(x^5)

x^x = 1 + xln(x) + O(x^2)

将上述展开式代入原式：

lim(x→0⁺)[(x-(1/6)x^3+O(x^5))^x - (1+xln(x)+O(x^2))]/x^2ln^2(1+x)

我们可以继续对(x-(1/6)x^3+O(x^5))^x和ln(1+x)在x=0处展开，因为这两个函数在x=0处均等于0，所以展开式的低阶项是不需要的。

(x-(1/6)x^3+O(x^5))^x = 1 + O(x^2)

ln(1+x) = x + O(x^2)

代入原式中得到：

lim(x→0⁺)[1 - (1/6)x^2 + O(x^4)]/x^2ln^2(1+x)

= lim(x→0⁺)[1/x^2 - (1/6) + O(x^2)]/ln^2(1+x)

使用洛必达法则，可以得到：

lim(x→0⁺)1/x^2 = +∞

lim(x→0⁺)ln^2(1+x) = 0

因此，原式的极限等于正无穷。