为什么说正定矩阵必是实对称矩阵
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- 2025-05-06 12:14:11
结论是，正定矩阵的本质属性之一就是它是实对称矩阵。实际上，正定矩阵的定义直接包含了这一特性。正定矩阵的定义要求，对于任何非零的实数向量z，其与矩阵M的乘积的转置再乘以z的结果zTMz必须大于0。这个条件只在矩阵是对称的情况下才成立，因为只有实对称矩阵才有转置等于自身的性质，从而保证zTMz与zTMzT相等，进而得到正定的判断。
正定矩阵有广义和狭义两种定义。广义定义强调的是对于所有非零向量的正定性，而狭义定义则进一步限定在实对称矩阵的范畴内。实际上，实对称矩阵的正定性是其正定矩阵身份的必要且充分条件。
正定矩阵的性质丰富且重要。首先，它们的行列式总是正值，这意味着矩阵的体积总是正的。其次，一个实对称矩阵A如果正定，那么它必定与单位矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得PA=AP=单位矩阵。此外，正定矩阵的逆矩阵也是正定的，这保证了正定性的传递性。正定矩阵的和、与正实数的乘积，以及两个正定矩阵的乘积，依然保持正定性。
总的来说，正定矩阵之所以必是实对称矩阵，是由于其定义中对向量的特定要求，只有实对称矩阵才能满足这一条件。而这些性质则展示了正定矩阵在数学运算中的特殊地位。
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