具有某些特性的点所组成的实数集的可数子集（一）

一、有理数集和无理数集

1、有理数集是可数集。我们可以通过建立一个双射函数来证明这一点。首先，考虑一个有限集，容易发现有理数集是可数的。为了建立双射，我们定义函数如下：将集合中的元素从小到大排列，若元素排在第n个位置上则将该元素映射为n。

现在构造一个序列如下：

（1）当元素为整数时，将其映射为自身的值。

（2）当元素为分数时，可以将分子和分母分别映射到有理数集中的整数位置，然后将结果与分母的平方根相除，得到最终的值。

可以证明这个映射是一个双射，因此有理数集是可数集。

2、无理数集是不可数集。取无理数集的一个可数子集，由于有理数集和无理数集都是可数集，存在双射，于是可以构造一个双射如下：

将有理数映射为自身的值，无理数映射为集合中下一个未映射的无理数。易知，这个映射是一个双射，因此无理数集是不可数集。

二、定义在[0,1]上的实值函数f(x)的间断点

在讨论间断点时，关键思路是将间断点分类，并证明每一类的个数至多可数。定义在[0,1]上的实值函数f(x)的间断点可以分为以下几类：

1、定义在[0,1]上的实值函数f(x)的可去间断点至多可数。我们将其分为两类：一类是极限存在的点，另一类是极限不存在但单侧极限存在的点。只需证明极限存在的点集合至多可数即可。对每个极限存在的点x，可以取一个满足一定条件的邻域，将所有满足条件的邻域构成集合，这个集合至多可数。

2、定义在[0,1]上的实值函数f(x)的跳跃间断点至多可数。跳跃间断点分为两类：一类是左极限存在但右极限不存在的点，另一类是右极限存在但左极限不存在的点。只需证明左极限存在但右极限不存在的点集合至多可数。取某个点x，使左极限存在，可以证明这个集合至多可数。

推论：单调函数的间断点至多可数。这个推论可以从2的结论直接推出，也可以用如下方法证明：由于单调函数在单调递增时，可以构造一个双射，证明单调递增函数的间断点至多可数；同理，可以证明单调递减函数的间断点至多可数。

3、定义在[0,1]上的实值函数f(x)的无穷间断点至多可数。证明集至多可数，即证明无穷间断点的集合至多可数。构造一个点集，利用1的结论即可证明这个集合至多可数。

4、振荡间断点可以有不可数个，如函数sin(1/x)，在(0,1]区间内具有不可数个振荡间断点。