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如何利用矩阵的初等行变换判断向量组线性相关或线性无关

m个n维列向量α1,α2,……，αm，如果m＞n.｛α1,α2,……，αm｝必然线性相关。

当m≤n时。对n行m列矩阵（α1,α2,……，αm），进行行初等变换。目标是有r

列。其前r行构成的子式变成r阶单位矩阵。并且整个矩阵，自r+1行之后全部为

零。

如果r＝n.则.｛α1,α2,……，αm｝线性无关。

如果r＜n..｛α1,α2,……，αm｝线性相关。

并且：还同时解决了两个其他的重要问题。①找出了最大无关组。

②找出了“其他”向量关于这个最大无关组的表示式。

例如（α1,α2,α3,α4,α5）→行初等变换→

2, 1, 3, 0, 0

-1, 0, 2, 1, 0

12, 0.-2, 0, 1

0, 0, 0, 0, 0.（标准形），则有：

①。｛α1,α2,α3,α4,α5｝线性相关。（∵3＝r＜4＝n）

②。最大无关组为｛α2，α4，α5｝（当然不唯一。）

③。α1=2α2-α4+12α5. α3=3α2+2α4-2α5.

（这些结果的道理，只一个，就是：行初等变换保持列之间的线性关系。）