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如何证明拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它的表述是：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得：

f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)

这个定理的证明需要用到微积分的一些基本知识，包括导数和连续性的概念。下面是一个简单的证明：

假设函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。我们构造一个新的函数：

g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (x - a)

这个函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。我们可以看到，g(a) = g(b) = f(a)，所以根据罗尔定理（如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且在区间的两个端点取得相同的值，那么在开区间内至少存在一点，使得该点的导数为0），在(a,b)内至少存在一点c，使得g'(c) =0。

由g(x)的定义我们可以知道，g'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a)，所以g'(c) =0就意味着f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。

所以，拉格朗日中值定理得证。