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正态分布期望如何算

这个计算有些麻烦的，不过只要熟悉了反常积分的解题技巧巧妙地构造二重积分(或用我们熟知的贝塔函数)就很容易解出来了

要计算正态分布的期望就要遇到解决积分：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx

由函数的奇偶性知：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx

记A=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx，

我们先来计算：A^2=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx∫[(0，+∞)，e^(-y^2)]dy

=∫[(0，+∞)]dx∫[(0，+∞)，e^(-x^2-y^2)dy

作变量替换：x=rcosθ，y=rsinθ，在上式可化为

A^2=∫[(0，π/2)]dθ∫[(0,+∞)，re^(-r^2)]dr=π/4

那么A=(√π)/2

所以：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2A==√π

那么：E(X)=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，xe^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx

=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，(x-µ)e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx

+ µ/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx

第一个积分算得0，第二个积分根据上面的结论得 µ，

所以E(X)= µ

还可以用根据第一类欧拉积分与第二类欧拉积分的关系来求解