对角化和 矩阵A 的幂[MIT线代第二十二课]
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- 2025-05-06 07:34:03
本文主要讨论矩阵对角化和矩阵幂运算，通过对角化简化计算。矩阵对角化是将矩阵分解为特征值与特征向量的组合。若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，可将其组成可逆矩阵S，进行对角化分解，表达式为：
这种分解方式有助于简化矩阵幂运算。对比矩阵的LU分解、QR分解，对角化分解对矩阵幂运算更有效。利用对角化分解的性质可直观看出简化效果。
矩阵是否可对角化取决于其特征向量的线性独立性。不同特征值对应特征向量线性无关，若矩阵特征值不重复，则一定有n个线性无关的特征向量。即使有重复特征值，仍可能找到n个线性无关的特征向量。例如，10x10单位矩阵特征值为1，但可找到10个线性无关特征向量。
对角化后，计算矩阵幂运算变得直接。递推关系如下：
通过实例可以清晰理解矩阵幂运算的简化过程。
本节学习了矩阵对角化与差分方程的应用，重点在于理解特征值与特征向量的用途，掌握差分方程的解题步骤。求解特征向量与特征值能力是这一节的核心所在。
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