数学篇18-反常积分的审敛法（一定要熟练掌握）
- 培训职业
- 2025-05-06 15:53:23
数学篇18：反常积分的审敛法概览
在深入理解数学的诸多领域中，反常积分的审敛法是不可或缺的技巧。摆渡考研工作室为你揭示几种关键的审敛法则，帮助你轻松掌握这一核心知识点。
1. 比较审敛原理
对于函数 f(x)，在区间 [a, ∞) 上连续，我们有这样一个关键定理：如果 ∫a^∞ f(x) dx 收敛，并且 limx→∞ f(x) = 0，则 ∫a^∞ g(x) dx 也一定收敛；相反，如果 limx→∞ f(x) 未收敛且 g(x) 是其非零倍数，那么 ∫a^∞ g(x) dx 会发散。
2. 比较审敛法的定义
另一种方法是通过比较法，如果函数 f(x) 满足 |f(x)| ≤ M·g(x)，其中 M 为常数且 g(x) 在 [a, ∞) 上有界收敛，那么 ∫a^∞ f(x) dx 收敛；反之，若存在常数 N 使得 |f(x)| > N，则 ∫a^∞ f(x) dx 发散。
实例解析
例如，考虑反常积分 ∫1^∞ (1/x^2 - 1/x^3) dx。根据比较审敛法1，我们知道它收敛，因为 1/x^2 的部分收敛，且 1/x^3 的增长速度更慢。
极限审敛法
极限审敛法规定，若 f(x) 在 [a, ∞) 上连续且 limx→∞ f(x) 存在且非零，那么 ∫a^∞ f(x) dx 收敛；而若 limx→∞ f(x) 不存在或等于零，那么反常积分会发散。
补充定理：连续性与收敛性
特别地，若函数 f(x) 在 [a, ∞) 上连续且 ∫a^∞ f(x) dx 收敛，那么 ∫a^∞ |f(x)| dx 也收敛。这是因为可以构造辅助函数 F(x) = ∫a^x f(t) dt，其绝对值的积分同样收敛。
以上只是反常积分审敛法的冰山一角，摆渡考研工作室将继续为你提供详尽的课程和资料，助你深入理解并熟练掌握这一关键数学工具。无论你在经济学还是数学的学习路上，我们都将与你同行，共同提升。
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