开映射定理证明
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- 2025-06-20 15:49:03
要证明开映射定理，即在巴拿赫空间中，如果线性满射 A: X → Y 为连续映射，那么 A 将 X 内的单位球映射到 Y 的某个邻域。我们首先设定 X 和 Y 的单位球分别为 U 和 V。
由于 X 可以表示为单位球 kU（k ∈ N）的序列交集，而 A 为满射，根据贝尔纲定理，Y 作为巴拿赫空间不能是可数个无处稠密集的并集。因此，存在某个正整数 k，使得 A(kU) 的闭包包含一个非空开球 B(c, r)，其中 c 为球心，r > 0。对于任何 v ∈ V，考虑球 B(c, r) 内的点 c + r v 和 c，它们都是 A(kU) 的极限点。通过加法的连续性，rv 也是 A(2kU) 的极限点，进而得出 v 属于 A(δ U) 的闭包，其中 δ = r / (2k)。
进一步，对于任何 y ∈ Y 和 ε > 0，我们可以找到 x ∈ X，满足 ||x|| < 1 且 ||y - A x|| < δ/2。通过构造一个递归序列 {xn}，我们可以确保 xn 满足上述条件，并且 xn 趋于某个 x，使得 A x = y。这表明，A(2U) 包含了 Y 内的开球 (δ/2) V，从而 A(U) 是 Y 内 0 的邻域，证明了开映射定理。
扩展资料
在泛函分析中，开映射定理是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地(Rudin 1973, 定理2.11):该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。
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