证明题：实二次型是半正定的充要条件是：其主子式都非负
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- 2025-05-06 00:38:40
引理1：针对实二次型[公式]，其特征多项式[公式]，可以知道[公式]是A的[公式]阶主子式之和。
引理2：如果[公式]是正定(半正定)矩阵，那么其等价命题包括：1. [公式]的特征值[公式]都大于(大于等于)0；2.其顺序主子式都大于(大于等于)0。
阅读提示：请注意区分entry [公式]和系数[公式]。
已知：二次型是半正定的；要求证：该二次型主子式皆非负。因为[公式]是半正定矩阵，所以其特征值[公式]都非负。对于其[公式]阶的主子式的矩阵[公式]，考虑[公式]元二次型[公式]的矩阵[公式]，易得[公式]是半正定的，因此[公式]，都有该二次型大于0。对于[公式]中entry [公式]也就是[公式]里面不等于[公式]的元素，令其对应的[公式]，仍有：[公式]所对应的二次型是大于0的。此时[公式]对应的二次型等价于[公式]的二次型，即此时后者亦是半正定的。由于[公式]的一般性，故原矩阵[公式]的任意阶主子式所对应的矩阵都是半正定的，即[公式]的任意阶主子式都非负。
这是我独立完成的证明，以下是总体思路：设[公式]元二次型[公式]，有[公式]，[公式]不全为0的一组[公式]有[公式]，即其二次型的主子式皆非负。Q.E.D.
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