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二维对数正态分布的概率密度函数，期望，方差和相关系数

本文详细解释二维对数正态分布的概率密度函数、期望、方差与相关系数的计算方法。首先，二维正态分布的概率密度函数为：

[公式]

通过取对数，转换为二维对数正态分布的概率密度函数，仅保留第一象限，其他区域概率密度为零。

[公式]

对于二维对数正态分布，边缘分布的期望和方差可通过引用链接中的推导过程得出：

[公式]

接下来，计算相关系数。相关系数公式为：

[公式]

关键步骤是求解期望乘积E(XY)，得到：

[公式]

将E(XY)带入相关系数公式中，化简后得到：

[公式]

化简过程中，指数项的积分等于1，简化为最终结果：

[公式]

代入期望E(X)、E(Y)与方差D(X)、D(Y)后，最终得到相关系数表达式：

[公式]

发现相关系数存在一个特殊性质，即当特定条件满足时，相关系数的取值范围并非[-1,1]，通过图像分析与数值计算验证了这一性质。

本文还提供了一段代码，用于绘制二维正态与二维对数正态的概率分布，结果如图所示。计算过程不易，希望得到大家的认可。