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计算第二型曲面积分：

补充平面∑1：z＝1(x2+y2≤1)取下侧，补充平面∑2：z＝2(x2+y2≤4)取上侧，

设S+∑1+∑2所围成的立体区域为Ω，∑1在xoy面的投影为D1，∑2在xoy面的投影为D2，则由高斯公式和第二类曲面积分的计算，得

?
S
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy

=

∫∫
S+∑1+∑2
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy-
?
∑1
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy-
?
∑2
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy

=

∫∫∫
Ω
(x+y)dxdydz+
∫∫
D1
x(1?y)dxdy?
∫∫
D2
x(2?y)dxdy

=

∫∫∫
Ω
xdxdydz+
∫∫∫
Ω
ydxdydz+
∫∫
D1
xdxdy?
∫∫
D1
xydxdy-
∫∫
D2
2xdxdy+
∫∫
D2
xydxdy

对于两个三重积分，由于被积函数x是关于x的奇函数，而积分立体区域Ω是关于yoz面对称的；被积函数y是关于y的奇函数，而积分立体区域Ω是关于xoz面对称的

因而

∫∫∫
Ω
xdxdydz＝
∫∫∫
Ω
ydxdydz=0，

对于以D1为积分区域的二重积分，由于被积函数x和xy是关于x的奇函数，而积分区域D1是关于y轴对称的

因而

∫∫
D1
xdxdy＝
∫∫
D1
xydxdy=0

同理，

∫∫
D2
2xdxdy＝
∫∫
D2
xydxdy＝0

∴原式=0

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