当前位置：首页 > 培训职业 > 正文

如何用秩1的矩阵理论求特征值

探讨如何利用秩1的矩阵理论求解特征值的问题。首先，设A为域F上的n级矩阵，其秩为1，意味着n-r(A)=n-1。这说明线性齐次方程组AX=0的解空间维度为n-1，由此得出0为A的特征值，且至少为n-1重。

由于r(A)=1，表明A的行向量组中存在一个极大线性无关向量，记为公式。由此可推断，A的每个行向量均是该向量的倍数，从而A可表示为一个列向量与一个行向量的乘积，即公式。观察可得，该行向量与列向量的乘积结构，说明任何非零列向量都是关于特征值tr(A)的特征向量。

当tr(A)不等于0时，A的n个特征值为0（n-1重）和tr(A）（1重）。针对tr(A)=0的情形，0必然是A的n重特征值，可通过反证法证实。假设有非零特征值[公式]，则有等式成立，这与[公式]相矛盾。

综上所述，对于秩为1的n级矩阵A，其特征值总是0（n-1重）和tr(A）（1重）。此结论通过秩1矩阵的性质及特征值理论的结合，得到了直观且严谨的解释。