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求正交变换 x=Py，化二次型为标准形。

^二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3 的矩阵是 A=

[ 0 -1 1]

[-1 0 1]

[ 1 1 0]

解得特征值 λ=1，1, -2.

对应特征向量分别为 (1，-1, 0)^T, (1，0, 1)^T, (1，1, -1)^T.

前两个正交化，得 (1，-1, 0)^T, (1/2，1/2, 1)^T,

再单位化，得 (1/√2，-1/√2, 0)^T, (1/√6，1/√6, 2/√6)^T,

第3个单位化，得(1/√3，1/√3, -1/√3)^T

则正交矩阵 P=

[ 1/ √2 1/ √6 1/√3]

[-1/ √2 1/ √6 1/√3]

[ 0 2/ √6 -1/√3]

使得 P^T*AP=diag(1, 1, -2)，

即 f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2.

扩展资料：

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。

因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。

参考资料来源：百度百科-正交变换