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二次型的矩阵是什么

^二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3 的矩阵是 A=

[ 0 -1 1]

[-1 0 1]

[ 1 1 0]

解得特征值 λ=1，1, -2

对应特征向量分别为 (1，-1, 0)^T, (1，0, 1)^T, (1，1, -1)^T

前两个正交化，得 (1，-1, 0)^T, (1/2，1/2, 1)^T

再单位化，得 (1/√2，-1/√2, 0)^T, (1/√6，1/√6, 2/√6)^T

第3个单位化，得(1/√3，1/√3, -1/√3)^T

则正交矩阵 P=

[ 1/ √2 1/ √6 1/√3]

[-1/ √2 1/ √6 1/√3]

[ 0 2/ √6 -1/√3]

使得 P^T*AP=diag(1, 1, -2)

即 f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2

扩展资料

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。

而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。

柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。