为什么要先求分布函数
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- 2025-05-06 18:14:05
分布函数（cumulantdistributionfunction,cdf）是概率统计中重要的函数，它能够通过数学分析的方法来研究随机变量。分布函数的性质包括非负有界性，即分布函数的值总是非负且有界。例如，对于任意的x1和x2，分布函数P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)≥0，从而证明了分布函数的值总是非负的。
另外，分布函数还具有单调不减性。即对任意的X1＞X2时，有F(X1)≤F(X2)，这是因为P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)≥0。这表明随着x值的增加，分布函数的值不会减少。
分布函数还具有右连续性，即F(x)=F(x+0)。这意味着分布函数在每一个点上的值等于其右极限，即在x点处的函数值等于x点右侧所有点的函数值的极限。
规范性方面，分布函数F（-∞）=0，F（+∞）=1。这是分布函数的定义决定的！例如，当X趋向于负无穷时，所有可能的事件已经发生，因此分布函数的值为0。当X趋向于正无穷时，所有可能的事件已经发生，因此分布函数的值为1。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞,x]上的概率。显然，这是必然发生的事件，因此一定等于1。可以用反证法来证明：如果不等于1，那么剩余的那些概率事件必然在后面发生，也就是说这与前面说到的已经是最后一个矛盾。所以说对最后一个而言，一定等于1。
这些性质使得分布函数成为研究随机变量的强大工具。通过这些性质，我们可以更好地理解随机变量的行为，并进行进一步的统计分析。
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