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如例2，为什么和其他两个特征向量正交的向量

命题应该是实对称矩阵不同的

特征值

对应的

特征向量

是相互正交的。证明如下：

设λ1,λ2是两个A的不同特征值，α1,

α2分别是其对应的特征向量，有

A

*

α1

=

λ1

*

α1,

A

*

α2

=

λ2

*α2

分别取

转置

，并分别两边右乘α2和α1，得

α1'

*

A'

*

α2

=λ2

*

α1'

*

α2,

α2'

*

A'

*

α1

=λ1

*

α2'

*

α1

对应相减并注意到α2'

*

A'

*

α1=（α2'

*

A'

*

α1)'=

α1'

*

A'

*

α2

所以

(λ1

-

λ2)

α1'

*

α2

=

α1'

*

A'

*

α2

-

α2'

*

A'

*

α1

=

α1'

*

A'

*

α2

-

α1'

*

A'

*

α2

=0

而

λ1

-

λ2≠

0，因此

α1'

*

α2

=

0

即

α1与α2

正交。

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