n个基向量永远线性无关这句话对不对

《线性代数》和《高等数学》一样是理工科学生必修的一门公共基础课，它最主要的内容是向量空间和线性变换，由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，也可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用技术工作中必不可少的工具，尤其在计算机高速发展和日益普及的今天。可以说，在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。

同学们首先得明确该课程的目标是培养学生的逻辑推理、抽象思维能力和空间想象能力等；其次，从教师这个角度出发，连我个人也认为目前我们的大多数教材是不适合目前的学生层次的，我们线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及到的初级应用也就是来解一个线性方程组了，这样引起的问题请允许我暂且引用网上广为流传的孟岩的《理解矩阵》一文中的一段话来概括。

“比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。”

行文至此，估计道出了很多同学的心声，笔者上学的时候也是如此。那线性代数这门课到底该怎样学呢。由前段，我现在一般先建议学生在边学习的时候边去尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用。如：《线性代数》（居余马等编，清华大学出版社）上就有线性代数在“人口模型”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面的应用。现在的移动互联网非常方便，大多数学校基本也实现了WiFi全校的覆盖，所以这个现在基本不是问题，也可以试着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理，如老的高中解析几何课本上的转轴公式，它就可以用线性代数中的过渡矩阵来证明。如果有条件或能力的话最好看一些国外的教材，当然这个对大多数本科生来讲可能会有点难，但一旦进入了人家的那个系统，你会发现另外一番天地。

就课前、课中和课后这三个阶段来说，课前预习阶段由于每个学生的个体不一样，有的学生完全不用预习（当然是极少数）上课就能把老师讲的内容完全理解掌握，但对大多数学生来讲，预习还是很有必要的，而且要带着问题去预习，不要简单看一下明天的线代该讲啥内容了就完事了；上课时间一定要重视听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生，即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路；课后一定要多思考，俗话说得好：“学而不思则罔”，当给你一个信息的时候，尤其是一些不太明显的信息，你要能立刻理解它的内涵，也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说，告诉你一个矩阵是非奇异矩阵，它包含的信息有：首先明确它是一个n阶方阵，它的秩是n，它便是满秩矩阵，它所对应的n阶行列式不等于零，那么n个n维向量便线性无关，还有这个方阵是可逆方阵， 并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的等等。