计算n*x^n的收敛区间,并在收敛区间内求其和函数
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- 2025-05-07 01:08:05
为了回答关于计算\(n \times x^n\)的收敛区间以及在收敛区间内求其和函数的问题，让我们先从基本概念开始。
首先，对于幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \)，其收敛区间由根号判别法确定，具体为 \( |x-x_0| < R \) ，其中 \( R \) 称为收敛半径。
对于形式 \( n \times x^n \) 的序列，它可以被视为 \( \sum_{n=1}^{\infty} n \times x^n \) 的幂级数展开。这个级数的求和可以利用公式求解，但首先需要确定其收敛区间。
考虑 \( n \times x^n \) 的幂级数，设其系数为 \( a_n = n \) ，则有 \( |n \times x^n| \)。应用根号判别法，即求 \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|n \times x^n|} \) 的值。得到 \( \lim_{n \to \infty} |x| \)，当 \( |x| < 1 \) 时级数收敛，因此收敛区间为 \( (-1, 1) \)。
在收敛区间 \( (-1, 1) \) 内，幂级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} n \times x^n \) 的和函数可利用求和公式求得。对于这个特定的级数，和函数为 \( S(x) = \frac{x}{(1-x)^2} \)。
综上所述，\( n \times x^n \) 的幂级数在 \( (-1, 1) \) 的收敛区间内，和函数为 \( S(x) = \frac{x}{(1-x)^2} \)。
希望这回答了您的问题，若有其他疑惑，欢迎随时提问。感谢您的阅读，祝您学业进步。
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