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合同一定是相似吗

合同矩阵不一定相似，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样，也就是特征值一样，就相似且合同，特征值不一样但正负性相同就合同但不相似。

设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵p，使得P^TAP=B，则称矩阵A、B为合同矩阵。设A、B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵)。

合同矩阵的性质：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。

3、传递性：A合同于B，B合同于C，就可以推出A合同于C。

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法如下：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。