不定积分∫（1/ x） dx为什么要加绝对值

首先整理题主的问题：

（1）当x＜0的时候，函数1/x的不定积分（原函数）是ln|x|。为什么要加绝对值。

（2）当x＞0的时候，函数1/-x的不定积分（原函数）是多少？

好，我们可以发现题主的问题在于函数和原函数在负半轴的取值上，正半轴上的取值没有问题。

在下面的回答中有一个回答是：把-x代换成t。换言之把x∈(0,+∞)的问题改成t∈(-∞,0).形式上好像更好理解，其实也没有解决问题。

先说结论。我们知道F(x)=lnx的定义域是(0,+∞)，但是f(x)=1/x的定义域是(-∞,+∞).为了可以在定义域上统一，我们在x的取值上加上绝对值使其可以满足x为负数。

***我们现在规定不管是函数还是原函数，任意x均满足x∈(0,+∞)，为了避免麻烦使用到绝对值。

ln|x|的图像是关于y轴对称的。

ln|x|图像from百度

显然，F(x)=ln|x|是偶函数.即，F(-x)=F(x).

f(x)=1/x的图像是关于原点对称的

1/x图像from百度

显然，f(x)=1/x是奇函数.即，f(-x)=-f(x).

因此题主第二个问题∫1/(-x)dx即为-∫1/xdx=-lnx+C.

好，看到这里就会发现，这个答案似乎多了一个负号。

我们观察∫1/(-x)dx的积分图像

用红色阴影部分表示积分

（面积是无限的，我在这里只画了一小部分阴影表示一下）

这个积分结果没有问题，就是该面积的负数（-lnx+C）。

到这里基本上已经回答答主第二个问题了。如果还是觉得不应该有负号。

换一种思路：首先承认1/x的不定积分是ln|x|+C

当x大于0时，1/x的不定积分是lnx+C

当x小于0时，1/x的不定积分是ln(-x)+C

当x大于0，∫1/(-x)dx=∫1/td(-t)=-lnx+C