幂零矩阵性质
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- 2025-05-05 05:17:24
设M为n×n的幂零矩阵，满足Mq= 0的最小整数q小于或等于n。
在代数封闭域上，矩阵M是幂零的，当且仅当它的所有特征值为零。因此，M的行列式和迹数都为零，所以幂零矩阵不是可逆的。
假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵，则A B是幂零矩阵，当且仅当det(A + tB)与t无关。这是因为矩阵A B的特征值与A + tB的特征值有关。
每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。这是因为它们的主对角线上元素为零，其余元素非零。
每一个奇异矩阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。这是因为奇异矩阵的行列式为零，所以可以分解为若干个幂零矩阵。
若M为实对称矩阵，则M=0。这是因为实对称矩阵的特征值全为实数，而幂零矩阵的特征值全为零，因此实对称矩阵M必须为零矩阵。
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