改进欧拉法的改进的算法
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- 2025-05-04 19:40:30
先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yi+1再直接计算fi+1，得到校正值yi+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式：
预报值 y~i+1=yi + h*f(xi,yi)
校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
它有下列平均化形式：
yp=yi+h*f(xi,yi)
且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
且 yi+1=(yp+yc)/2
它的局部截断误差为O(h^3)，可见，改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度，其截断误差比欧拉格式提高了一阶。
注：欧拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的导数，局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。
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